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Distribución Geográfica de Asesinatos en Puerto Rico en el 2011: Fase II Enfoque geográfico-temporal y socioeconómico

Gladys Valentín González
Departamento de Geografía
Facultad de Ciencias Sociales

Resumen:

El delito de asesinato en Puerto Rico marcó un nuevo pico de ocurrencia en el año 2011, con un total de 1,136 casos. Esta investigación es la segunda fase de un intento por identificar y explicar patrones y tendencias en la distribución geográfica de los mismos. Este tipo de enfoque en el análisis de delitos escasea y es de suma importancia para el entendimiento a cabalidad de este fenómeno. Utilizando una base de datos generada en la Fase I, donde se detallan las circunstancias de cada delito, se estudiaron los aspectos regional-temporal y socio-económico de los asesinatos. Por medio de programados como ArcGIS, Microsoft Excel y SPSS, se evaluaron los eventos vis á vis la región geográfica metropolitana en la que se dieron, así como el día, semana y mes en ocurrió cada uno. Por otro lado, se evaluaron diversas variables sociales y económicas para ver su relevancia en el estudio de asesinatos en la Isla. Los resultados se muestran mediante mapas, gráficas y tablas de frecuencia, que sugieren una relación positiva entre la ocurrencia de estos eventos con el fenómeno urbano, ingreso per cápita y escolaridad de los habitantes por municipio.

Palabras claves: Geografía, incidencia criminal, distribución estadística, cartografía


Abstract:

The crime of homicide in Puerto Rico reached a new peak of occurrence in 2011, with a total of 1,136 events. This research is a second phase in an attempt to identify and explain patterns and tendencies of their geographic distribution. This type of perspective on the study of these crimes is limited, and it’s essential to fully understand this phenomenon. Utilizing a database generated in Phase I, where we detailed the circumstances of each case, regional-temporal and socio-economic aspects were studied. Using computer programs such as ArcGIS, Microsoft Excel and SPSS, the homicide events were evaluated vis a vis the “metropolitan region” in which they took place, as well as the day, week and month of occurrence. Moreover, various social and economic variables were evaluated to ascertain their importance in the study of these crimes in the country. The results are presented in maps, graphics and frequency tables, which suggest a positive relation between the occurrence of homicides and the urban phenomenon, per capita income and the level of education of the habitants in all of Puerto Rico’s municipalities.

Keywords: Geography, criminal activity, statistical distribution, cartography


Introducción

La investigación presentada en este artículo fue preparada como requisito del curso Métodos de investigación geográfica. Ésta se considera la segunda fase de la investigación originada a comienzos del año 2013, titulada Distribución geográfica de asesinatos en Puerto Rico en el 2011. La misma busca estudiar e identificar posibles patrones y tendencias de distribución geográfica del delito de asesinato en Puerto Rico, tomando como estudio de caso los eventos ocurridos en el 2011. Como se verá más adelante, en dicho año se alcanzó una cifra sin precedentes en el país con 1,136 casos registrados por la Policía de Puerto Rico. Esta Fase II pretende ampliar el conocimiento adquirido en la investigación pasada, concentrándonos en el aspecto regional-temporal y estadístico de este fenómeno. Se realizaron análisis espaciales y estadísticos basados en la descripción de las circunstancias en que se dieron los eventos, así como información socioeconómica de cada municipio. Antes de profundizar en la presente fase de la investigación, es pertinente resumir el proceso de elaboración de la Fase I, puesto que ésta fungió como antesala al presente proyecto.


Descripción general de la Fase I: distribución geográfica de asesinatos en Puerto Rico en el 2011

La primera fase se desarrolló con el propósito de identificar patrones y tendencias espaciales del delito de asesinato en la Isla en el año 2011. Dicho período de tiempo es de importancia pues fue el año en el cual se registró un nuevo pico en la incidencia de este tipo de crimen, llegando a 1,136 casos. Previo a esto, el pico más extremo había ocurrido en el 1994, con 995 casos. A partir de esa fecha hubo bajas y altas, hasta el 2011, en el cual se llegó a una nueva cumbre antes de bajar a 977 casos en el 2012 (Ver Figura #1). La identificación de patrones y tendencias en el año estudiado sirve como estudio de caso y precedente al análisis del fenómeno en general, para identificar variables relacionadas y regiones más propensas a la ocurrencia de asesinatos.

Es importante tener en cuenta la complejidad de estudiar este tipo de fenómeno antropogénico. Múltiples variables influyen en la ocurrencia de asesinatos y la mayoría depende de un factor: el que comete el delito. El motivo que este sujeto tenga para cometer el acto, así como su toma de decisiones, son los factores determinantes en la comisión de dicho acto. (Daly, Wilson & Vasdev, (2001) El crimen y su lugar de ocurrencia pueden ser premeditados o espontáneo.

Fuentes: Tendencias P.R. 2009 http://www.tendenciaspr.com/violencia. YCharts http://ycharts.com/indicators/puerto_rico_gdp_per_capita_growth

Figura #1: Asesinatos y cambio porcentual de Producto Interno Bruto de 1961 a 2012.

Generalmente, la comunidad ve los crímenes como un conglomerado de eventos pasando en una unidad de área extensa, como municipios y países, pero rara vez estos son analizados individualmente y correlacionados los unos con los otros. (Vann & Garson, 2001) Esta tarea es ejecutada por las autoridades, mientras que el pueblo internaliza el escenario criminal divulgado por la prensa, el cual puede ser alarmista. En las noticias de televisión, radio y periódico vemos cómo se tiene una percepción de que el crimen “arropa a la isla” completamente. Pero, ¿en verdad es así? ¿Cómo se encuentran geográficamente distribuidos los casos de asesinato en la Isla? (2001; Wang, 2005)

Para comenzar el estudio, se recopilaron datos de la División de Estadísticas de la Policía de Puerto Rico (2011), los cuales incluían cifras y frecuencias de asesinatos por región policíaca. El análisis que incluye la localización absoluta de la totalidad de los casos se hizo a base de un mapa interactivo publicado en el portal electrónico del diario local, Primera Hora. Éste esquematiza la distribución estadística de cada caso, en algunos casos, provee una breve descripción y su ubicación. Los datos que faltaban o estaban incompletos se obtuvieron mediante la búsqueda de noticias en periódicos cibernéticos.

Fuente: Periódico Primera Hora, http://especiales.primerahora.com/mapaasesinatos/index2011.asp

Figura #2: Pirámide poblacional de las víctimas de asesinato en el año 2011 en Puerto Rico.

En base a esto, se generó una tabla en Microsoft Excel, conteniendo los asesinatos con sus respectivas descripciones divididas por columnas según el tema. Entre éstas se encuentran edad y sexo de la víctima, localización, fecha, motivo y tipo de arma utilizada. Ésta se codificó, asignándole valores numéricos a cada ítem de las variables, para ser procesada en el programa de análisis estadístico IBM SPSS Statistics. Puesto que no se encontró la ubicación de todos los casos, el análisis y conclusiones toma en cuenta 1,091 eventos del total de 1,136 (96.1%). De estos, un 94% de las víctimas fueron varones (Figura #2). En cuanto a datos sobre edad, se tomaron en cuenta 908 casos (79.9%) del total. Datos censales fueron obtenidos en línea vía el Negociado del Censo de los Estados Unidos, específicamente la herramienta de American FactFinder (2012).

Se utilizaron programas como ArcGIS 10.1, Microsoft Excel, y el IBM SPSS Statistics para tratar de identificar patrones y tendencias espaciales. Los resultados fueron presentados en forma de escrita, gráficas, tablas y mapas temáticos.


Fase II: Concepto e hipótesis

Como se mencionó previamente, el fin de esta fase de la investigación es darle continuidad a la primera, enfocándonos en estudiar estadísticamente el aspecto regional-temporal y el socioeconómico. Esto es, analizar con mayor profundidad variables que tienen que ver con la región y fecha en que se dio cada evento, así como datos demográficos y económicos de los municipios en donde ocurrieron.

Se establecieron una serie de hipótesis relacionadas a los temas mencionados, las cuales se enumeran a continuación:

  1. H1: Existen patrones temporales de distribución geográfica de asesinatos y homicidios en Puerto Rico.
  2. H1a: Dichos patrones pueden ser identificados utilizando la cartografía animada como herramienta de estudio.
  3. H2: La distribución de ingresos en la población del país está relacionada con la incidencia del delito en cuestión por municipio.
  4. H3: Existe diferencia entre las diversas zonas metropolitanas y “no metropolitanas” en cuanto a cantidad de asesinatos y distribución respecta.
  5. H3a: Hay una transición entre zonas catalogadas como “no metropolitanas” y la región metropolitana de San Juan, de suroeste a noreste: de menor a mayor número de casos.

Metodología

La metodología para realizar la segunda fase de la investigación incluye la utilización de la base de datos creada en la Fase I mencionada anteriormente: una tabla que contiene cada caso, registrado en el 2011, del cual se encontró la localización absoluta (1,091 de 1,136), con sus respectivas circunstancias e información socioeconómica por municipio. Dichos datos se consideran secundarios pues fueron obtenidos por las fuentes alternas que los generaron.

Como finalidad de esta fase, el análisis se ha dividido en dos enfoques o facetas principales: análisis regional-temporal y análisis socioeconómico. (Daly, Wilson & Vasdev, (2001) El primero consta del estudio de los aspectos de tiempo y espacio subdividido, tanto separados como correlacionados. El aspecto temporal se enfoca en el estudio de la distribución de asesinatos en los diferentes días de la semana y meses del año. Para esto, se utiliza la cartografía animada como herramienta creando un “time-lapse” para cada uno y observando detenidamente en busca de patrones espaciales. Adicional a esto, se preparó una gráfica de cantidad de asesinatos por semana. No se cuenta con la hora exacta en que ocurrió cada evento, así que este aspecto no se incluye en esta fase.

Por otro lado, el aspecto regional se concentra en la subdivisión de “áreas metropolitanas” en la Isla. Se han identificado diferentes definiciones de lo que se considera como área metropolitana en Puerto Rico. A partir de estas, se optó por dividir la Isla en tres áreas: “área no metropolitana” (sur oeste y parte del este del país, con 37 municipios), área estadística metropolitana de San Juan-Caguas-Guaynabo, excluyendo la región metropolitana de San Juan (centro-noroeste-sureste, con 32 municipios) y la región metropolitana de San Juan (RMSJ) (parte del noreste, con 9 municipios).

La correlación entre ambos aspectos consiste en el contaje de frecuencia de casos que se dieron en x día de la semana y mes, respectivamente, en cada una de las zonas, usando el programado ArcGIS 10.2. Los resultados fueron tabulados, graficados y comparados utilizando Microsoft Excel.

La metodología escogida para este primer enfoque se basa principalmente en diversas pruebas con las herramientas del programa de ArcGIS 10.2, tanto espaciales como estadísticas. Esto es debido a que, desde un comienzo, la investigación se fundamentó en el análisis a profundidad de la localización absoluta de los eventos estudiados y cómo esta se podía relacionar con una serie de variables con el fin de identificar patrones y tendencias espaciales. (Vann & Garson, 2001; Wang, 2005) Se escogieron las herramientas y análisis que dieron resultados pertinentes al fin de la investigación, luego de realizar una serie de pruebas y en base a algunas sugerencias dadas por profesores a los que se les consultó. Entre estas sugerencias se encuentra la provista por el Dr. Carlos J. Guilbe (UPR RP-Geografía) de hacer un “time-lapse”, para evaluar la distribución temporal de los eventos y analizar la probabilidad de ocurrencia de asesinatos por municipio con la ecuación de distribución Poisson, sugerida por el Dr. Ángel D. Cruz Báez (UPR RP-Geografía). Se hizo una revisión de literatura, donde se encontraron varios artículos relacionados al análisis que podrían servir a nuestro fin. Sin embargo, luego de probarlos con los datos, con excepción de uno (sobre el que se abundará más adelante), los resultados no fueron utilizados en el cuerpo de la investigación.

Figura 3.jpg

Fuentes: Primera Hora, http://especiales.primerahora.com/mapaasesinatos/index2011.asp ; Valentín, (2013)

Figura #3: Distribución direccional de la población de Puerto Rico y asesinatos ocurridos en el 2011. Los colores de los municipios representan la tasa de asesinatos, de menor a mayor a medida que intensifica el color. La fórmula para obtener dichas tasas es la siguiente: Cantidad de asesinatos/Población X 10,000.

El segundo enfoque, socio-económico, incluye la correlación de variables de esta índole como lo son el ingreso per cápita, el nivel de escolaridad, el por ciento de pobreza, el por ciento de desempleo, la tasa de participación laboral y la población urbana. Esto se hizo mediante un análisis de componentes principales ejecutado en el programa IBM SPSS Statistics, así como la generación de regresiones y mapas en Microsoft Excel y ArcGIS 10.2 respectivamente. Dicho análisis fue inspirado por la metodología de una tesis estudiada en la revisión de literatura titulada The Geography of Crime in Contemporary Puerto Rico por el Dr. José Javier López (1998). En esta, el autor estudia diversos tipos de crímenes desde una perspectiva espacial y evalúa una serie de variables con un análisis estadístico multivariado, incluyendo el aspecto socioeconómico. El procedimiento utilizado no es idéntico, pero se asemeja en varios sentidos.

En nuestro análisis de componentes principales, se procesaron 13 variables, entre las que se encuentran las antes mencionadas. A partir de esto, el programa IBM SPSS Statistics aglomeró algunas de estas variables en cuatro factores, las cuales se relacionaban estadísticamente entre sí.


Descripción de los hallazgos

Los resultados obtenidos en esta investigación sirvieron no tan sólo para confirmar los hallazgos de la Fase I, sino que brindaron nuevas perspectivas, así como datos más concretos sobre las variables analizadas. En primer lugar, se corroboró el hecho de que existe una relación positiva entre la cantidad de población por municipio y el número de casos que se dieron en el año estudiado (Figura #3). Una gráfica comparativa de cantidad de asesinatos por año y el cambio porcentual del Producto Interno Bruto del país, en conjunto con sus líneas de tendencia, sugiere una relación positiva entre ambos ( Figura #1). Históricamente, en tiempos de prosperidad, han ocurrido menos asesinatos. Pasando al análisis del aspecto regional-temporal, sábado y domingo fueron los días con mayor cantidad de asesinatos. El “time-lapserealizado mostró como especialmente en los días de fin de semana, se “dibujan” las vías de rodaje principales del país: PR-22, PR-2, PR-52 y PR-30. Esto es, varios eventos se dieron en áreas aledañas a dichas carreteras. Comparando la localización de los casos en días de semana versus fin de semana, los primeros se encuentran más conglomerados, siendo su valor Z –25.57 versus –18.35.

Por otro lado, de los 1,091 casos estudiados, 234 (21.4%) están localizados en la zona que definimos como “no metropolitana”, 362 (33.2%) en el área estadística metropolitana de San Juan-Caguas-Guaynabo (excluyendo RMSJ) y 495 (45.4%) en la región metropolitana de San Juan. El análisis de componentes principales arrojó, entre otras cosas, una relación entre las variables de población urbana y el grado de escolaridad. Por otro lado, la probabilidad o distribución Poisson (Figura #4) donde se identifican los municipios donde se dio una cantidad menor o mayor de asesinatos de lo esperado en base al promedio de Puerto Rico, la mayoría de los que sobrepasaron la expectativa fueron del área estadística metropolitana de San Juan-Caguas-Guaynabo.

Fuente: Primera Hora http://especiales.primerahora.com/mapaasesinatos/index2011.asp

Figura #4: Probabilidad Poisson de ocurrencia de asesinatos por municipios, en base al promedio general del país en el 2011.


Discusión y conclusiones

En la Fase I de esta investigación, en la cual se diseñó y creó la base de datos y primeros análisis geográficos y estadísticos, se concluyó que la cantidad de población, la ocurrencia de asesinatos en zonas urbanas y aumento de casos según la economía de Puerto Rico deteriora, son las tres variables o factores que más se relacionaban al fenómeno de asesinatos. En la presente, se buscó expandir y profundizar en estos resultados, tratando de encontrar otras variables que se relacionaran con el tema, y realizando diversos análisis espaciales y estadísticos. Para discutir las conclusiones a las que se llegaron veamos los resultados en base a las hipótesis planteadas y así determinar si se aceptan o se rechazan.

La hipótesis 1 (H1 y H1a) se acepta parcialmente dentro de lo que se logró trabajar con la información con la que se cuenta. Se acepta ya que se logró identificar un patrón de distribución de casos a nivel de días de la semana como se vio al discutir los resultados del aspecto regional-temporal. Por otro lado, se vio cómo al desplegar los casos en ArcGIS 10.2 y compararlos con las zonas metropolitanas establecidas, aunque entre zonas hay diferencia en frecuencia de eventos, dentro de cada zona no hubo una diferencia marcada por mes. Sin embargo, no se puede decir que se acepta 100% con certeza ya que una parte esencial para lograr probar esta hipótesis lo es la hora en que ocurrieron los asesinatos y esta información no se pudo obtener.

En cuanto a la segunda hipótesis (H2), según el análisis de componentes principales, el ingreso de los ciudadanos es una variable significativa en uno de los factores generados por el programa IBM SPSS Statistics. Sin embargo, se necesitará un análisis más detallado para poder afirmar con certeza si esta hipótesis se acepta o se rechaza. Por otra parte, la tercera hipótesis (H3 y H3a) se acepta ya que, como se vio en los resultados del análisis regional, existe una diferencia clara en número de casos entre las zonas metropolitanas establecidas y sí se distingue una transición de menos a más eventos desde el “área no metropolitana” hasta la región metropolitana de San Juan.

Sería interesante analizar los patrones para otros años y ver si son consistentes. A forma de recomendación final, se entiende de gran importancia el determinar cuál es la información necesaria y vital para realizar un análisis profundo y completo sobre la ocurrencia de asesinatos y su distribución geográfica y aspecto temporal, para así poder ayudar con la prevención de este crimen en la Isla.



Bibliografía

Daly, M., Wilson, M. & Vasdev S. (2001). “Income Inequality and Homicide Rates in Canada and the United States”. Canadian Journal of Criminology. 43(2), 219-236.

Vann, I.B. & Garson, G.D. (2001). “Crime Mapping and its Extension to Social Analysis”. Social Sciences Computer Review. 19(4), 471-479.

Wang, F. (2005). “Job Access and Homicide Patterns in Chicago: An Analysis at Multiple Geographic Levels”. Journal of Quantitative Criminology. 21(2), 195-217.


Fuentes Documentales :

Policía de Puerto Rico. (2011). Datos estadísticos sobre asesinatos del 2011 en Puerto Rico. San Juan: Departamento der Estadísticas de la Policía de Puerto Rico.

Tendencia de Puerto Rico (2013). Compendio de estadísticas: Violencia en Puerto Rico, 2009. San Juan: Tendencias de Puerto Rico. http://www.tendenciaspr.com/violencia

US Census Bureau. (2012). American Community Survey (2007-2011). American Fact Finder. Washington D.C.: US Census Bureau. http://factfinder2.census.gov/faces/nav/jsf/pages/searchresults.xhtml?refresh=t

(2013). Puerto Rico GDP per Capita Growth: 1.26% for 2012. Charts: http://ycharts.com/indicators/puerto_rico_gdp_per_capita_growth


Artículo de prensa :

Redacción. (2012). “Mapa de Asesinatos de 2011”. Sección Especiales. Primera Hora. http://especiales.primerahora.com/mapaasesinatos/index2011.asp

Revista [IN]Genios, Volumen 1, Número 2 (febrero, 2015).
ISSN#: 2324-2747 Universidad de Puerto Rico, Río Piedras
© 2015, Copyright. Todos los derechos están reservados.

Cuestiones de género: Cuestiones de Pluralidad en Identidades y abstracciones1

Alejandro J. Ríos Negrón
Departamento de Sociología y Antropología
Facultad de Ciencias Sociales

Resumen:

El siguiente ensayo reflexivo aborda las acepciones para el concepto género desde el espacio académico y la experiencia cotidiana. Pretende además repensar las dinámicas de género desde una óptica no naturalizada y que se desprende del discurso identatario para centrase en el potencial de las acciones humanas. Para acometer el propósito de analizar la temática de género se trazará un vínculo entre textos académicos y dos obras literarias. La revisión bibliográfica, contrapuesta a los elementos creativos, servirá para repensar el peso de las construcciones teóricas y su pertinencia en el entramado de las relaciones humanas.

Palabras clave: género, identidad, feminismo, patriarcado, homosexualidad, Antropología


Abstract:

The following reflective essay addresses the significations embedded in the concept gender through the academia and everyday experience. Also, it aims to rethink gender dynamics from a non-naturalized perspective in order to distance itself from the identity discourse and focus on the potential of human actions. To undertake the main purpose of analyzing gender issues a link between academic texts and two literary works will be drawn. The literature review, in contrast to the creative elements, serves to rethink the weight of theoretical constructs and their relevance in the web of human relationships.

Keywords: gender, identity, feminism, patriarchy, homosexuality, Anthropology


Introducción

Leer a Luis Negrón (2013) representa un soplo de aire fresco que viene a sacudir todo cuanto han construido, conocimiento y prejuicios por igual, sobre el tratado de género a través de la educación superior. Las preguntas saltan a la mente, crepitando como la explosión de los granos de maíz en aceite que anteceden a toda función respetable. Algunas de éstas van sobre aspectos etimológicos, pero las más seductoras urden contra las idealizaciones de lo masculino y lo femenino como esferas contrapuestas. Se cuestiona, pues, si el comportamiento humano es sistémico y regulado o, por el contrario, visceral y si las selecciones o adscripciones a un género son o no inmutables. Profundizar sobre dichas interrogantes estimula a repensar el género como algo situacional, como una amalgama de comportamientos posibles atravesada por los alcances y límites del tiempo y el espacio. Con más preguntas que respuestas, se pretende superar las abstracciones académicas de una breve interpretación bibliográfica para probar los conceptos en el eje de la experiencia misma, a través de la literatura y la memoria y estableciendo un nexo con la expresión homosexual. Este vínculo presupone de antemano que la explicación a través de la teoría muchas veces es infructuosa, pues no deja espacio para el azar y la pasión, ejes verdaderos del ethos humano. Asimismo, finiquitaremos este preámbulo retomando la idea central del proceder humano para sembrar un germen inquisitorio que provoque a la lectura de las líneas subsiguientes. Éste toma forma en las siguientes preguntas: ¿es la homofobia realmente un miedo? y ¿acaso el temor no se basa en la posibilidad del acontecer?


El recorrido académico

El error de la esencialización parece ser una constante en muchos de los constructos sociales que afectan adversamente las sociedades en Occidente. El género, tanto categoría académica como sistema normativo, se ha visto afectado por la misma dinámica que lleva al interrogante sobre la existencia de cualidades inherentes. Aceptando el dinamismo y la complejidad del tema –y con el riesgo de simplificación– resultaría necesario advertir, desde un inicio, que lo inherente en el género es su carácter subjetivo, tanto a nivel de identidades personales como en las abstracciones académicas. A través de las siguientes líneas reflexivas ensayaremos un discurrir que contraste diferentes autoras para denotar así la multiplicidad de discursos que transitan de la teoría (orden abstracto) hasta la praxis (espacio cotidiano).

La primera de ellas es Sherry B. Ortner (1979). Para esta autora la asociación de la mujer con la naturaleza ante la universalidad del determinismo cultural repercute en una subordinación femenina en todas las sociedades, en todos los tiempos; representando de este modo una negación a la variedad y una reducción esencialista. A través de su planteamiento, Ortner ejemplifica la categorización académica que subsume la diversidad que celebra la antropología como disciplina y generaliza la experiencia. Este desatino encuentra sentido en su búsqueda por explicar –en contraposición a una apuesta comprensiva– la lógica subyacente (enfoque nomotético) de los “universales humanos”. Categoriza además que “todas las culturas desvalorizan y adscriben la naturaleza a un orden de existencia inferior a la suya” (Ortner, 1979: 6)2; una particular visión que sólo se entiende certera en el universo simbólico occidental que se encuentra atravesado por el pensamiento imperialista y judeocristiano. Sobre esto último podríamos argüir que la cultura no debe ser vista como una sola forma de doblegar la naturaleza sino como un conjunto de posibilidades para interactuar con ésta. Con esto queremos decir que el espacio geográfico/natural se encuentra dado y por su parte la cultura nos permite múltiples formas de interacción que varían en un gradiente desde lo conciliador a lo nocivo, nos ofrece posibilidades infinitas que yacen en la capacidad creativa (por ejemplo las chinampas mesoamericanas) y el acto de modificación no necesariamente implica superioridad cuando existe la conciencia de nuestra dependencia de sustento en la naturaleza. Por otra parte, cabe puntualizar que la auto-reflexividad es un eje necesario para la construcción del saber antropológico, pero encuentra su utilidad en la medida que reconoce el carácter particular de la experiencia. Habiendo dicho esto, podemos sustentar que Ortner esboza una propuesta aplicable a un contexto particular que carece de la relativización de la experiencia en la medida en que su distanciamiento como sujeto académico le impide dar cuenta de las representaciones internalizadas que, como diría Raymundo Mier, conforman su mirada.3

Del otro lado, Joan W. Scott (1996) esboza un recorrido histórico de la categoría género hasta el contexto del feminismo a la par que denota la necesidad de fraguar un cuerpo teórico4 que explique las experiencias de género (atravesadas por otras instancias sociales como consideraciones de clase y raza) y dé cohesividad a los relatos dispersos. Su llamado a no sucumbir ante el error de la ahistoricidad inicia en la contextualización de las palabras mismas. Con ello nos indica que las palabras tienen historia y que el constructo –género– tiene su nacimiento en la posibilidad de un período; es decir, nace de un particular universo simbólico, a partir de un entramado de significaciones [para el antropólogo] y en la concatenación de los eventos en tiempo y espacio [para el historiador]. Dicho contexto fuese el de “las feministas americanas que deseaban insistir en la cualidad fundamentalmente social de las distinciones basadas en el sexo” (Scott, 1996: 2), para así establecer una separación del discurso determinista biológico. Luego, como parte de una intencionalidad académica de neutralidad y legitimidad, el término pasa a concentrarse en la mujer. No obstante, se advierte el carácter artificial de la división de la historia del hombre y de la mujer, pues en realidad no hay deslinde entre una y otra. Entonces, lo rescatable de Scott será esa interconectividad entre la esfera femenina y la masculina, la idea de continuidad que implican los procesos y la existencia de feminismos en tanto se comprenden sus intencionalidades tras la contextualización misma.

Asimismo, Marta Lamas (1999) realiza un trabajo compilatorio para hacernos ver la necesidad de transitar por todas las avenidas que atraviesan el fenómeno social en cuestión. Algunas de éstas son la lingüística, la política, la economía, la religión, el psicoanálisis, la historia, la experiencia y la corporeidad, mismas que trascienden la victimización femenina. A lo largo de su exposición Lamas defiende la aplicabilidad de la teoría psicoanalítica para el tema de género y critica abiertamente a Scott por despreciar dicho potencial. Resulta particularmente interesante la manera en que denuncia como “realidad simbólica” la dicotomía hombre-mujer; pues al establecer la existencia de un continuum cuyos polos no son sólo la masculinidad y la femineidad sino también el hermafrodismo como centro, rompe dicha construcción simbólica. No obstante, en este esquema se percibe la prestación freudiana de la teoría psicosexual del desarrollo de la personalidad, donde los caracteres de personalidad se entienden en un continuum o gradiente cuyos polos son expresiones opuestas y extremas (no existentes en el plano real) por lo que los sujetos se han de posicionar necesariamente en algún punto entre medio de ambos polos dependiendo, en última instancia, del grado de indulgencia o frustración que ejerciera el padre en el niño al pasar por cada etapa (oral, anal, fálica, etc.).5 Otra prestación de esta teoría es su noción de la homosexualidad como producto de una resolución incompleta del complejo edípico.

Empero, la propuesta que parece ser propia de la autora es aquella posibilidad de la categoría académica que permite comprender la “concepción y construcción del poder” (Lamas, 1999: 174) para, de este modo, impulsar un cambio social. Añadiéramos pues, la necesidad de reflexionar más sobre el discurso de individuación en la modernidad y cómo esta disgregación o quiebre del vínculo social más amplio sirve al propósito de control que persigue el poder. Esta noción es introducida –entre líneas– por la autora al remitir al ejemplo de Foucault sobre cómo en tiempos pretéritos la homosexualidad era una práctica humana y hoy día ha tomado significación de identidad al enunciar que tal o cual persona “es homosexual”. Este enfoque fomenta crear una diferencia en esencia entre los sujetos heterosexuales y homosexuales que pasan a verse como contrapuestos y no como expresiones propias del comportamiento, posibles en cada ser humano. Por último, nos resta enriquecer el análisis de Lamas con un punto que no es considerado y es el siguiente: si bien Lamas, en la comprensión hegemónica que conlleva al cambio, plantea lo imprescindible de la lucha política, no considera que los cambios también pueden ser accidentados, como producto del intento –fallido– por reproducir el sistema establecido. Por ejemplo, en un análisis sobre la biografía de la primatóloga norteamericana Dian Fossey podemos observar cómo su mentor la elige a ella y a sus compañeras féminas reproduciendo un sistema de valorización de la feminidad que les otorga cualidades inherentes de paciencia, timidez y rasgos maternales que las hacen más aptas para desempeñar el trabajo con los primates. No obstante, el producto –no intencional– es una variante de femineidad que escapa al estereotipo de la época en tanto que sitúa a la mujer en el espacio externo de la selva, sin la protección masculina y sin mayor preocupación por la estética personal, entre otros rasgos más que adjudican caracteres significados masculinos tales como fortaleza, fuerza, perseverancia y arrojo que, en última instancia, representan un empoderamiento de la primatóloga que le permite posicionarse y permanecer en el espacio androcentrista de la historiografía.

Nuestra última autora a considerar, bell hooks6, nos hablará del patriarcado como un sistema político-social trascendiendo el antagonismo que fomenta el hembrismo7 y situándonos en la dimensión cotidiana de la vivencia. Su planteo es contundente desde su inicio al describir el patriarcado como una “enfermedad social que ataca al cuerpo masculino.” [traducción del autor] (hooks, 2004: 1) Consecuentemente, le define como un sistema inter-conexo de las esferas política, económica, religiosa, biológica, racial y cultural que modela la identidad y noción del yo, tanto en niños como en niñas, hasta la muerte. Para ello, utiliza como ejemplo la experiencia socializadora de su niñez junto a su hermano; misma en la que hace denotar la imposición de un libreto predeterminado para la conducta del ideal femenino y masculino. Ésta nos dice: “…en la realidad yo era más fuerte y violenta que mi hermano, lo que prontamente comprendimos estaba mal.” [traducción del autor] (p. 1) Ante esta “anomalía” el sistema patriarcal recurre al terrorismo psicológico y a la violencia [estructural] para construir una niña como aquel sujeto servil, débil, sin necesidad de raciocinio, cuidadora, entre otros calificadores. En esta empresa por “restaurar un orden social natural” [traducción del autor] (p. 2) entran en juego otras instituciones sociales como el sistema educativo y religioso. Sobre ello nos permitiremos añadir que tanto la idealización de un Dios hombre como la noción de un alma y un ser perteneciente a una fuerza superior llama al acatamiento, obediencia, resignación –prestación del estoicismo griego como corriente filosófica– para abandonar el ánimo, el potencial de hacer de los sujetos por voluntad propia y servir así a la intencionalidad de dominación. Hasta cierto punto podríamos argüir que sin el discurso particular que representa el judeocristianismo no sería soportable la situación de dominado ni el reconocimiento de supremacía del dominante. No obstante, para hooks la posibilidad de cambio radica en la concienciación de cómo el sistema coarta la voluntad de todos los sujetos sociales por igual; razón por la cual en la culminación de su exposición enfatiza que “el patriarcado exige que los hombres se conviertan en y permanezcan siendo lisiados emocionales” [traducción del autor] (2004: 4), pues exalta la mitad de nuestros caracteres humanos para suprimir la otra mitad. Su llamado a adoptar una nueva modalidad de masculinidad –y no el énfasis excesivo en la feminidad– contrasta con todos los planteos anteriores, adjudicándole –para mí– la mayor certeza expositiva y ejemplifica la pluralidad de ángulos mediante los cuales se puede abordar la temática; remitiéndonos entonces al meollo inicial: lo único inherente en el género es su carácter subjetivo.


Más allá: de la teoría a la Tierra

A continuación se apuesta por complejizar el rollo teórico antes esbozado con la incorporación de ejemplos y reflexiones ubicadas en la experiencia isleña de Puerto Rico. Para ello, hacemos uso de la literatura que construye la narrativa desde el elemento vivencial y advertimos de antemano que ésta se reúne, en su mayoría, alrededor de la temática homosexual.8 Aspecto que no debe representar un impedimento, pues como se ha argumentado hasta el momento, aunque queramos, no podemos separar un mundo femenino de otro masculino, e igual sucede con la homosexualidad y la heterosexualidad: todos forman parte del único mundo de las relaciones humanas en general. Este planteo inicial sobre la separación únicamente discursiva de esferas inmaculadas, nos conduce a dos elementos sustanciales e indisolubles en la discusión: la identidad y la cultura homosexual. Sobre la primera de estas cuestiones debemos plantear –cuasi categóricamente– que no existe tal cosa como UNA identidad de género (masculina, femenina, homosexual, lésbica, otras) y aunque el título de este artículo hace alusión a la identidad, su precedente condicional de “pluralidad” sirve para manifestar que pueden haber tantas identidades de género como personas, pues se tratan de adecuaciones a la expectativa social que transitan desde lo normativo hasta lo contestatario. Ejemplo de esto puede ser la manera en que Reinaldo Arenas9 (2010) complejiza la homosexualidad al diferenciar cuatro categorías de sujetos homosexuales (éste le denomina “las cuatro categorías de las locas”. Distingue la loca de argolla, la loca común, la loca tapada y la loca regia) (Arenas, 2010: 103-104) que, a simple vista, muchos cometeríamos el desacierto de englobar bajo una sola identidad homosexual. Por otra parte, las consideraciones sobre la cultura homosexual se entrelazan con la identidad en tanto que la llamada “cultura gay” sólo existe en Occidente, donde se conceptúa la homosexualidad como una identidad (enfoque individualista) y no como una actividad (énfasis colectivo). Esta particular forma de comprensión implica la necesidad de arreglos sociopolíticos,11 igualmente particulares, que establecen espacios de interacción para la comunidad construida así como un mercado específico. Entre estos mercados, además de barras, lugares artísticos, pornografía y mercado de modas, entre otros, se encuentra la psicología y demás espacios de auto-proclamada cientificidad que promueven, en diferentes niveles cada uno, la patologización de cualquier conducta que transgreda el orden heteronormativo. El psicoanálisis resulta particularmente interesante en la medida que sostiene que la historia particular de los individuos, en específico la referente a la infancia temprana y niñez, determina el proceder sexual a expresarse en la vida adulta, olvidando así que la experiencia es un desdoblamiento ad infinitum, que nunca es individual sino intrínsecamente intersubjetiva. De manera que, el proceso de lo vívido y lo vivido está en constante modelación y remodelación por lo que escuchamos, pensamos e internalizamos, ayer tanto como lo que acabamos de escuchar hoy. Nuestras ideas, maneras de enfrentarnos al mundo y otorgar sentido a la existencia no son propias, sino que son a su vez las ideas de nuestros padres tanto como de nuestros vecinos, amigos, el dueño del colmado de la esquina y cualquier otra persona con quien ocurra un intercambio social. Ultimadamente, estas prácticas patologizantes pueden ser interpretadas como lastres de la eugenesia10 decimonónica que hoy día sirven al nefasto propósito de separar, identificar y etiquetar al subalterno para facilitar el control desde los espacios de poder.

Retomando el discurso de la existencia de un microcosmos “gay”, será en este contexto que se hace posible un acercamiento comprensivo de las narraciones que compila el autor Luis Negrón en su libro Mundo Cruel (2013) y que representan algunas dinámicas que tienen espacio en la urbe santurcina de San Juan, Puerto Rico. Éste nos presenta un mundo matizado por “la falta de solidaridad, el interés sexual, chisme, egoísmo e hipocresía” (Ramos Collado, en, Negrón, 2013: 1) tan igual al “heterosexual” y en constante interacción con otros sectores sociales como comerciantes, inmigrantes y delincuentes que sirve a reiterar el carácter arbitrario y ficticio de tales clasificaciones. Siendo entonces que todos formamos parte de ese mundo cruel que no es más que el mundo humano. Más aun, complejiza la realidad mostrando los gradientes de expresión potencialmente posibles en cada sujeto al plasmar “… el macho más macho que se vira en la cama…” (2013: 15) y el mito o la construcción de la virilidad o masculinidad idealizada que frecuentemente se alimenta en los espacios homosexuales y que irónicamente resulta tan difícil de encontrar –o inexistente– en los propios machos heterosexuales “… bellos, masculinos y cien por ciento activos.” (p. 41) Ideas similares nos conducen a pronunciar que las diferencias por las que segregamos, criminalizamos y hasta matamos son un producto histórico, una creación humana. De la misma manera, los relatos apuntan hacia cómo las cuestiones de género son más cercanas a patrones de conducta o comportamiento que a identidades. Por ejemplo, el padre incita al carácter violento que debe tener el hijo varón al gritarle “defiéndete como un hombre”. (2013: 23) Esta singular exaltación de unos caracteres esencialmente masculinos contrapuestos a otros femeninos sólo considera la mitad de nuestra humanidad y en su tarea por suprimir se incorpora la función del patriarcado en nuestra sociedad para determinar lo que el hombre debe desear y cómo debe proceder, subordinando así la potencialidad y el deseo de ser de los sujetos masculinos. Otro ejemplo sobre las actitudes y acciones socialmente valorizadas es la acepción misma del “pato”11, podría decirse que este último representa todo lo que socialmente no se quiere ser: una posición pasiva, una vulnerabilidad, en fin, una debilidad (maneras de acción y/o inacción). En resumen, la visibilidad de estos patrones nos recuerda que la manera en que se construyen las identidades sociales no sólo se limita a todo lo que se incentiva ser sino también a lo inverso, todo lo que no se quiere ser y de lo que “deberíamos alejarnos” lo más posible.

Consideraciones sobre la violencia física, verbal y/o estructural para fijar los límites de acción e interacción nos conducen a hacer un vínculo con las maneras de lidiar con los eventos anómalos o ambiguos que extrajese Fiona Bowie (2006: 45-47) de la obra Pureza y peligro de la antropóloga británica, Mary Douglas. Y es que ciertamente muchos de estos mecanismos conciliadores son aplicables a la manera de lidiar en nuestra sociedad con los sujetos que no se adhieren a la normativa heterosexual. Entre los mismos, se encuentran la redefinición; por ejemplo, hoy día muchas prácticas se redefinen, como el bisexualismo, de manera que se acercan más a la expectativa heterosexual facilitando así su inclusión y/o asimilación en el sistema normativo. La eliminación a través del control físico sería la segunda estrategia que puede entenderse en el acto de intolerancia exacerbada que conduce al asesinato de otra persona por razón de su preferencia sexual; evento que aunque sancionado por el aparato legal, se reproduce. Por su parte, laevitación de lo anómalo consiste en hacer socialmente invisibles todos aquellos sujetos que se consideran “desviados sociales”; la adscripción de peligrosidad por otra parte, etiqueta a los sujetos no convencionales como peligrosos, promoviendo así su estigmatización y persecución. Finalmente, el proceso estético, en donde los sujetos anómalos se equiparan a objetos de arte, parece más complicado de extrapolar y nos atrevemos a realizar el vínculo arguyendo que muchas féminas construyen a los homosexuales como individuos con una gran preocupación por la estética personal e inclinaciones artísticas, convirtiéndolos así en sujetos inherentemente bellos y esculturales, nociones que conducen a la última de las estrategias: la ridiculización. Todas estas prácticas –y otras que aún aguardan a ser descubiertas– trabajan, de manera negativa o positiva, sobre las fronteras clasificatorias para poder integrar las anomalías al sistema normativo.

Otros aspectos interesantes y áreas que llaman a la necesidad de una mirada antropológica que se desprenden de la obra de Negrón, lo son las prácticas sexuales en el contexto de las iglesias (doblemente ocultas porque a la heteronormatividad secular se añade el principio de la fe) y la idealización de un lugar externo más tolerante a las prácticas homosexuales y lésbicas en general (en este caso, Estados Unidos). Sobre el primer aspecto resultaría interesante considerar que las iglesias son, hasta cierto punto, espacios de feminización en la medida en que promueven virtudes y/o valores entendidos como femeninos: la paciencia, la empatía, la compasión, la bondad, la ternura, la contención o mesura y la resignación, entre otros. Asimismo, la cotidianidad nos evidencia que efectivamente muchos puertorriqueños piensan que “… allá afuera hay más libertá pa’ eso” [en referencia a la conducta homosexual] (Negrón, 2013: 60) y toman la decisión de abandonar el país sin considerar la inevitable adquisición de un estatus de minoría “racial” y cultural, dejando a un lado además, las consideraciones sobre los patrones de familia extendida que abundan en Puerto Rico y que se caracterizan por la inclusión. Interesante por demás resulta percibir que en la construcción de los relatos “homosexuales” que logra el escritor, subyace un raciocinio heteronormativo que, frecuentemente, avala dicho sistema reproduciendo así los pares binarios de un sujeto pasivo y otro activo, uno doméstico y otro público. Se aceptan los roles asignados de la misma manera que, en muchos escenarios de la experiencia puertorriqueña, la mujer se muestra permisiva ante su propio sometimiento.

Por esta razón dedicaremos nuestras últimas líneas al espacio heteronormativo, siendo las relaciones de género que ahí se despliegan tampoco tan simples como se pretenden. Por ejemplo, en muchas familias puertorriqueñas vemos la figura de una mujer permisiva que avala la autoridad del esposo –en muchas ocasiones para disciplinar a los niños– y acepta los roles asignados en la medida que está de acuerdo con ellos, pero en el momento de la discrepancia se planta firme y el esposo le teme. Incluso, en muchos hogares la disciplina rígida es impuesta por las madres y los padres se muestran más cariñosos. En la experiencia de mi familia las tías cuentan cómo era mi abuela la que efectivamente “repartía fuete”. El refranero tanto como el humor popular suelen ser instancias que disfrazan las incongruencias entre el discurso y la práctica, entonces resulta sugestiva la manera –jocosa– en que muchos esposos declaran que ellos tienen la última palabra en su hogar y que ésta es “sí mi amor” o “lo que tú digas mi vida”.

Por otra parte, en muchos hogares de padre ausente –y con presencia indiferente en algunas ocasiones– se desarrollan sistemas de relaciones de parentesco que retan el orden normativo de género como madres que asumen ambos roles (en este escenario es frecuente idealizar los valores masculinos en los hijos varones) y el avunculado (orden alterno donde el tío materno ocupa el lugar privilegiado y rol activo en la crianza de los hijos de su hermana, que en una sociedad idealmente patriarcal le correspondería al padre). En la postrimería de nuestras palabras invitamos a reflexionar sobre cómo dentro del orden normativo la heterosexualidad obligatoria es forzada hasta sus límites a través del juego (como cuando un hombre le grita a uno de sus amigos “fulano tú eres mío” y éste le responde positivamente o con la misma aseveración) y la complicidad sexual que subyace en los baños públicos para varones. Estos espacios abiertos, en particular los urinales, se muestran contrarios a la idea del pudor femenino y son propicios para el intercambio visual, principio fundamental de la comparación de falos que afinca el sentido de virilidad. Concluimos con la esperanza que estas ideas dispersas en la experiencia sirvan a identificar avenidas por explorar y motivar la investigación social en dichas áreas.


Bibliografía

Arenas, R. (1992) [2010]. Antes que anochezca. Barcelona: Tusquets Editores.

Bowie, F. (2006). The Anthropology of Religion: An Introduction (2nd Ed.). Oxford: John Wiley & Sons. /Blackwell Publishing.

Hooks, B. (2004). Understanding patriarchy. In, The Will to Change: Men, Masculinity, and Love (pp. 17-33). New York: Simon and Schuster. http://imaginenoborders.org/pdf/zines/UnderstandingPatriarchy.pdf.

Lamas, M. (1999). Usos, dificultades y posibilidades de la categoría género. Papeles de Población, 5(21) 147-178. Recuperado de http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=11202105.

Negrón, L. (2010) [2013]. Mundo Cruel (3era Ed.). San Juan: Agentes Catalíticos.

Ortner, S. B. (1979). ¿Es la mujer con respecto al hombre lo que la naturaleza con respecto a la cultura? En Harris, Olivia y Kate Young (Compiladoras), Antropología y feminismo (pp. 109-131). Barcelona: Editorial Anagrama. http://www.cholonautas.edu.pe/modulo/upload/Ortner%20S.pdf.

Scott, J. W. (1996). El género: Una categoría útil para el análisis histórico. En M. Lamas (Compiladora), El género: la construcción cultural de la diferencia sexual. (pp. 265-302). México: PUEG. http://www.cholonautas.edu.pe/
modulo/upload/scott.pdf.


Notas

1 Dicotomía naturaleza/cultura sólo sustentable por la lógica particular de Occidente. En otras culturas, como ciertas comunidades en Indonesia, se percibe la realidad a través de la armonía cosmológica, misma que para existir requiere la armonía de cinco géneros (no dos como la polarización masculino vs. femenino). Este ejemplo denota cómo la clasificación occidental establece un eje vertical de jerarquización mientras que fuera de este enclave las relaciones pueden ser y son efectivamente comprendidas y aunadas en un eje horizontal. *Ver vídeo Five Genders? En http://www.youtube.com/watch?v=K9VmLJ3niVo.

2 Ver ponencia titulada: “Raymundo Mier Habla Sobre la Mirada”. En http://www.youtube.com/watch?v=K9VmLJ3niVo.

3 La apuesta colectiva consiste en conformar un conjunto de “ideas explicativas” que superen la fijeza conceptual para comprender los nuevos arreglos socioculturales que tienen origen en tiempo y espacio definidos.

4 Nótese que el encuadre particular del psicoanálisis es aplicable a Occidente en tanto que ha sido condicionado de manera polarizada, fuera de este contexto en muchas otras culturas resultaría una imposición. Por ejemplo, en la cultura Zapoteca de México, la homosexualidad y/o travestismo (Muxe) se construye dentro del espacio masculino con un “hacer” o proceder diferente (enfoque en la acción y no en el ser o la identidad) y goza de una estima social positiva. Sugerimos revisar vídeo en http://www.youtube.com/watch?v=kVeZJPpiRBU y artículo “Género y Homosexualidad entre los zapotecos del Istmo de Tehuantepec. El caso de los Muxes” en http://isisweb.com.ar/muxe.htm.

5 La forma de escritura del nombre no representa un error tipográfico sino un posicionamiento político de la autora.

6 Concepto que hace referencia al ideal extremo del feminismo y que promueve la idea de supremacía femenina.

7 Esta particularidad sólo se debe al limitado corpus de literatura accesible al momento de la redacción de este artículo así como las limitaciones de tiempo del autor.

8 Este ejemplo, aunque en el contexto cubano de los años de 1960, aún se muestra útil a la variable complejidad puertorriqueña.

9 Refiérase a la manera de organizar las relaciones en un grupo humano.

10 El término hace referencia al “buen nacer” como una vía para erradicar todos los llamados males sociales, mismos que serían aquellos patrones que no emulasen la heteronormatividad blanca, imperialista, capitalista y androcentrista.

11 El término hace referencia a la voz popular, y frecuentemente peyorativa, que se emplea en Puerto Rico para nombrar los sujetos homosexuales.

Revista [IN]Genios, Volumen 1, Número 2 (febrero, 2015).
ISSN#: 2324-2747 Universidad de Puerto Rico, Río Piedras
© 2015, Copyright. Todos los derechos están reservados.

Solvability of systems of polynomial equations over finite fields

Ramón L. Collazo
Julio J. de la Cruz
Daniel E. Ramírez
Department of Computer Science
College of natural Sciences

(*Para poder ver todas las formulas que se encuentran en este artículo debe utilizar un motor de búsqueda que no sea Google Chrome)

Abstract

An important problem in mathematics is to determine if a system of polynomial equations has or not solutions over a given set. We study systems of polynomial equations over finite fields Fp, p prime, and look for sufficient conditions that guarantee their solvability over the field. Using the covering method of (Castro & Rubio, n.d.) we get conditions on the degrees of the terms that allow us to construct families of systems that have exact p-divisibility of the number of solutions and therefore guarantee the solvability of the system over the finite field.

Keywords: mathematics, polynomial equations, finite fields, solvability

Resumen:

Un problema importante en las matemáticas es el determinar si un sistema de ecuaciones polinomiales tiene o no soluciones sobre un conjunto dado. Estudiamos sistemas de ecuaciones polinomiales sobre campos finitos Fp, donde p es primo, y buscamos condiciones suficientes para garantizar que el sistema tenga solución sobre el campo. Usando el método de la cubierta de (Castro & Rubio, n.d.) obtenemos condiciones en los grados de los términos de modo que podamos construir familias de sistemas que tengan divisibilidad exacta p del número de soluciones, y por consiguiente garantizar que el sistema tenga solución sobre el campo finito.

Palabras Claves: matemáticas, ecuaciones polinomiales, campos finitos, resolución


1 Introduction

      The computation of the p-divisibility of an exponential sum is a mathematical tool used for different purposes. In our research, the p-divisibility is used to determine if a system of polynomial equations

a11(Xb1111Xb11nn)d11++a1r1(Xb1r111Xb1r1nn)d1r1=α1 at1(Xbt111Xbt1nn)dt1++atrt(Xbtrt11Xbtrtnn)dtrt=αt,

where bijk{0,1}, has solutions or not over a finite field.

      The exact p-divisibility of exponential sums was used in (Castro & Rubio, 2010) to determine the solvability of certain systems of polynomial equations. The results in that paper were obtained by solving systems of polynomial congruences. The covering method was used in (Castro & Rubio, n.d.) to prove that if a system of polynomial equations has a certain (p1)-covering the system is solvable. We present sufficient conditions on the degrees of the terms of a system of polynomial equations that guarantee that it produces the type of (p1)-covering in (Castro & Rubio, n.d.) and assure that the system is solvable.

2 Preliminaries

      First, we introduce some concepts that will be used in our work. The handbook (Panario & Mullen, 2013) is a complete reference book for all the background and recent results in finite fields.

Definition 1. A finite field 𝔽q is a field with q=pf elements, where p is a prime.

Example 1.

𝔽7=7={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6},
with addition and multiplication mod 7 is a field.

Example 2.

6={0, 1, 2, 3, 4, 5},
with addition and multiplication mod 6 is not a field because 3 does not have a multiplicative inverse.

      In this work we only deal with prime fields, this is, q=p.

Definition 2. A system of polynomial equations over 𝔽p is a set of equations F1=0,...,Fn=0, where Fi are polynomials in n variables X1,,Xn and coefficients in 𝔽p.

We assume that every system of polynomial equations contains all the variables X1,,Xn, and denote the set of all polynomials in X1,,Xn and coefficients in 𝔽p by 𝔽p[X].

2.1 Exponential Sums and Solvability

Definition 3. The exponential sum over 𝔽p associated with the polynomial F(X) is given by

S(F)=xFnpζF(x),
where ζ is a p-th root of unity.

      This number is hard to compute but we are not interested in the exact number, we just look for the greatest power of p that divides the sum.

Definition 4. The exact p-divisibility of a positive integer k, denoted as νp(k), is the exponent of the highest power of p dividing k.

νp(40)=νp(235).
Hence,
ν2(40)=3,ν5(40)=1, and νp(40)=0 for p2,5.

      Note that, if k=0, there is no highest power of p that divides k. This is, the exact p-divisibility of 0 is not defined.

      To determine if a system is solvable, we need to know if the exponential sum of the system of polynomials has exact p-divisibility. The exponential sum is defined for a single polynomial; we construct a new polynomial from the system of polynomials. This new polynomial is obtained by multiplying a new variable to each polynomial in the system and adding the products. The exponential sum of this new polynomial gives the number of common zeros of the system.

Lemma 1 (Ax (1964)). Let F1(X),,Ft(X)𝔽p[X] and N be the number of common zeros of F1,,Ft. Then,

N=ptS(Y1F1(X)++YtFt(X)).

      The exact value of this number N is hard to compute because it depends on the exact value of the exponential sum. But we are interested on whether or not the system has solutions and it is enough to know if N=0 or N0.
      Note that if νp(N)=a, this implies that pa|N and pa+1N, therefore N0, because 0 is divisible by every number that is not 0. This is, if the exponential sum associated with a system of polynomial equations has exact p-divisibility, we guarantee that the system is solvable.
      To determine systems which have exact p-divisibility we use the covering method as it was presented in (Castro & Rubio, n.d.)

2.2 The Covering Method

      We now define the (p1)-covering of a polynomial F, which encodes how many monomials of F (including repetitions) are needed to have each variable “represented” a multiple of p1 times.

Definition 5. Let F(X)=a1F1+a2F2++arFr. A set C={F1v1,,Frvr} of powers of the monomials in F is a (p1)-covering of F if in the product F1v1Frvr the exponent of each variable is a positive multiple of p1. Note that some of the vi might be 0. The size of the (p1)-covering is ri=1vi.

Definition 6. A set C={Fv11,,Fvrr} is a minimal (p1)-covering of F if for any other (p1)-covering C={Fv11,,Fvrr} of F, ri=1viri=1vi.

Example 4. Consider

F(X)=X1X2+X3X4+X1X2X3X4𝔽2[X].
Then C1={(X1X2),(X3X4)} is a 1-covering of F of size 2 and the minimal 1-covering of F is C2={(X1X2X3X4)} and it has size 1.

      If F(X)𝔽5[X], then C1={(X1X2)4,(X3X4)4} is a 4-covering of F of size 8, and C2={(X1X2X3X4)4} is the minimal 4-covering of F of size 4.

      The covering method for computing exact 2-divisibility of exponential sums of binary polynomials was introduced in (Castro, Medina, & Rubio, 2011). In (Castro & Rubio, n.d.) the authors presented the following sufficient conditions to obtain polynomials such that their exponential sum has exact p-divisibility.

Theorem 1 ((Castro & Rubio, n.d.), Theorem 3.7). Suppose that F=a1F1++arFr has a unique minimal (p1)-covering C={Fv11,,Fvrr} where each monomial in C with vi0 has at least two variables that are not contained in the other monomials of C. Then νp(S(F))=ri=1vip1.

3 Conditions for solvability

The results in (Castro & Rubio, n.d.) gave sufficient conditions to guarantee that the exponential sum of the polynomials has exact p-divisibility. However, these conditions are on the type of (p1)-coverings that the polynomials must have and it might be hard to know if these conditions are satisfied by just looking at the polynomials. Also, for the exact p-divisibility of the number of solutions we have to consider the new variables Yi as in Lemma 1. Here we present a result similar to Theorem 1 but with conditions in the degrees of the polynomials. We also present a similar theorem for the computation of the exact p-divisibility of the number of solutions of the system of polynomials.
      To use Theorem 1 we need the polynomial F to have a unique minimal (p1)-covering. We now prove conditions so that polynomials of the form F=a1(Xb111Xb1nn)d1++ar(Xbr11Xbrnn)dr, where bjk{0,1}, have this type of (p1)-covering. Corollary 3.8 in (Castro & Rubio, n.d.) has a similar result but the proof was not provided.

Lemma 2. If the polynomial F=a1(Xb111Xb1nn)d1++ar(Xbr11Xbrnn)dr
=a1F1++arFr𝔽p[X], where bjk{0,1}, is such that each Fj has at least one variable that is not contained in the other monomials of F, then C={F1p1gcd(p1,d1),,Frp1gcd(p1,dr)} is the unique minimal(p1)-covering of F.

Proof. First, in order to prove that C covers all the variables, we have to show that the exponent of each variable in the product F1p1gcd(p1,d1)Frp1gcd(p1,dr) is a positive multiple of (p1). The exponent of Xk has the form β=d1v1b1k++drvrbrk, where vj=p1gcd(p1,dj). Note that bjk=0 when Xk is not in the monomial Fj and bjk=1 when it is. This is,

β=d1p1gcd(p1,d1)b1k++drp1gcd(p1,dr)brk=lcm(p1,d1)b1k++lcm(p1,dr)brk=(p1)l1b1k++(p1)lrbrk, li=(p1)[l1b1k++lrbrk],

where li0, and, since F contains all the variables, there exist at least one k such that bjk=1. Therefore, l1b1k++lrbrk, and the exponent of Xk is a positive multiple of p1. The same reasoning can be used for each of the other variables.
      Now, we want to prove that the covering is minimal and unique. Since each Fi has at least one variable that is not contained in Fj, for all ji, we can take a variable Xk, that only appears in Fi. Then, in the product F1p1gcd(p1,d1)Frp1gcd(p1,dr), Xk has exponent dip1gcd(p1,di)=lcm(p1,di) and therefore the exponent of Xk is the smallest multiple of p1 and di. This implies that the monomial Fi cannot have a smallest exponent in any other (p1)-covering. The same argument works for all the other monomials in F and the (p1)-covering is minimal and unique with this property.

Example 5. Consider the polynomial F=7X41+4X52+3X93𝔽13[X]. A 12-covering of F is

C={(X41)6,(X52)24,(X93)8}={X241,X1202,X723},

and has size 38, but the minimal 12-covering of F is

C={(X41)12gcd(12,4),(X52)12gcd(12,5),(X93)12gcd(12,9)}={(X41)3,(X52)12,(X93)4}={X121,X602,X363},

and has size 18.

      We now present sufficient conditions on the exponents d1,,dr of the terms in the polynomial F that guarantee that the equation F=α is solvable for any α𝔽p.

Theorem 2. Suppose that F=a1(Xb111Xb1nn)d1++ar(Xbr11Xbrnn)dr \ =a1F1++arFr𝔽p[X],
where bjk{0,1}, is such that each monomial Fi has at least two variables that are not contained in the other monomials of F. If gcd(di,p1)=k and k|r, then F(X)=α is solvable for any α𝔽p.

Proof. By Lemma 1, the number of zeros of Fα is N=p1S(Y(Fα)), where S(Y(Fα)) is the exponential sum of Y(Fα). By Lemma 2, C={F1p1gcd(p1,d1),,Frp1gcd(p1,dr)} is the unique minimal (p1)-covering of F. Consider C={(YF1)p1gcd(p1,d1),,(YFr)p1gcd(p1,dr)}. Since gcd(p1,di)=k and k|r, the variable Y in (YF1)p1gcd(p1,d1)(YFr)p1gcd(p1,dr) has exponent ri=1p1gcd(p1,di)=ri=1p1k=r(p1k)=c(p1), where c, because k|r. This implies that Y is (p1)-covered in C. By the same arguments in the proof of Lemma 2, C is the unique minimal (p1)-covering of F.

      Theorem 1 implies that

νp(S(Y(Fα)))=i=1rvi(p1)=i=1r(p1)gcd(p1,di)1(p1)=i=1r1k=r1k=c.

      Now we have that

νp(N)=νp(p1S(Y(Fα)))=νp(p1)+νp(S(Y(Fα)))=1+c,

c. Since νp(S(N))=c1, we have that pcN and therefore N0.

Example 6. Consider the polynomial F=(X1X2)8+(X3X4)10𝔽19[X]. The number of zeros of Fα, αF19 is N=p1S(Y(Fα)). By Lemma 2, the unique minimal 18-covering of Y(Fα) is

C={(Y(X1X2)8)18gcd(18,8),(Y(X3X4)10)18gcd(18,10)}={(Y(X1X2)8)9,(Y(X3X4)10)9}={Y9(X1X2)72,Y9(X3X4)90}.

      Using Theorem 1,

νp(S(Y(Fα)))=i=12vi(p1)=18gcd(18,8)118+18gcd(18,10)118=1.

By Lemma 1, this implies that νp(N)=11=0, where N is the number of solutions of Fα=0. Therefore, the equation F=α is solvable for any αF19.

      We can extend this theorem to systems with several equations. To simplify the notation, we only state the result for 2 equations.

Theorem 3. Consider a system of two polynomials equations over 𝔽p

F1F2=a11(Xb1111Xb11nn)d11++a1r1(Xb1r111Xb1r1nn)d1r1=a21(Xb2111Xb21nn)d21++a2r2(Xb2r211Xb2r2nn)d2r2,

where bjk{0,1}, and F1=a11F11++a1r1F1r1,F2=a21F21++a2r2F2r2 are such that each monomial Fji has at least two variables that are not contained in the other monomials of F1+F2. If gcd(p1,d1i)=k1, where k1|r1, and gcd(p1,d2i)=k2, where k2|r2, then the system F1=α1,F2=α2 is solvable for any α1,α2Fp.

Proof. Let F=Y1(F1α1)+Y2(F2α2). By Lemma 1, the number of common solutions of the system is

N=p2S(F),

where S(F) is the exponential sum associated with the system. By Lemma 2, the unique minimal (p1)-covering of F1+F2 is C={F11p1gcd(p1,d11), ,F1r1p1gcd(p1,d1r1),(F21)p1gcd(p1,d21), ,(F2r2)p1gcd(p1,d2r2)}. Consider C={(Y1F11)p1gcd(p1,d11),,(Y2F2r2)p1gcd(p1,d2r2)}. Since gcd(p1,d1i)=k1 and gcd(p1,d2i)=k2, the exponents of Y1 in (Y1F11)p1gcd(p1,d11) (Y1F1r1)p1gcd(p1,d1r1) and Y2 in (Y2F21)p1gcd(p1,d21